世间并无绝对公平

朱门酒肉臭，路有冻死骨。

荣枯咫尺异，惆怅难再述。

诗圣杜甫早就告诉我们，世间的雨露并不总是被所有人均沾。

同样的，现在有甲、乙、丙三个人同时给花浇水。已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，三人共浇100盆。请问至少有多少盆是三人都浇过的？至多呢？

那么可能，有的花被其中一人浇过水，有的花被其中两人浇过水，有的花被三人都浇过水，有的花没有被三人中的任何一个浇过水。

这当然是不公平事实的体现，但另一方面这些不公平也逼迫我们必须要想出一些行之有效的方法来解决这些复杂的计数问题。

容斥原理，由此应运而生！

容斥原理是什么鬼

在康托尔的朴素集合论中，一般这样定义容斥原理:

在计数时，先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果不重不漏。

举两个小学课本上的简单例子。

由上图，我们不难发现商店昨天进了5种水果，今天进了7种水果。

但两天一共进的水果种类却不能简单用5+7=12种来计算，因为香蕉、橙子、梨、菠萝这4种水果两天都进了。

所以根据容斥原理，两天进的水果种类应该是:

5+7-4=8种。

下面的例子，同样来自小学数学教材。

因为有3人既参加了跳绳比赛，又参加了踢毽比赛，根据容斥原理，参加这两项比赛的总人数应该是:

9+8-3=14人。

由上述两个例子，我们明显感觉到用图形(韦恩图)表示会更简洁形象。

比如:

又如:

显然仅参加熊猫馆的有25-18=7人，

两个馆都参加的有18人，

仅参加大象馆的有30-18=12人，

所以一共有7+18+12=37人，或25+30-18=37人。

容斥原理的公式化表示

回到三(1)班的那个问题。

假如我们用下面的整个图形表示三(1)班的所有同学，用圆A表示该班参加跳绳比赛的同学，圆B表示该班参加踢毽比赛的同学，

A∩B表示该班两种比赛都参加的同学，

A∪B表示该班参加两种比赛的所有同学，

｜A｜表示A中学生的个数。

那么容斥原理就可以表示为:

｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜-｜A∩B｜

｜A∩B｜之所以要被减掉，无非是因为它既在A中，又在B中，被加了两次！

那么，如果是三个图形的相交问题呢？

在计算｜A∪B∪C｜的过程中，我们发现黄色的部分(其中一个是A∩B中除去A∩B∩C以外的部分)都加了两次，红色的部分加了三次。

所以:

｜A∪B∪C｜=｜A｜+｜B｜+｜C｜-

｜A∩B｜-｜A∩C｜-｜B∩C｜+

｜A∩B∩C｜

注:｜A｜+｜B｜+｜C｜中，把两两相交的都加了两次，所以减掉。其中A∩B∩C的部分加了三次，又减了三次，所以最后再加回来。

下面是一个简单的例子。

实验小学对本校100名同学进行调查，调查他们对三大球（篮球、足球排球）喜欢与否。结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。篮球和排球都喜欢的多少人?

解:设爱好篮球的集合为L，爱好足球的集合为Z，爱好排球的集合为P。那么:

100=58+68+62-45-｜L∩P｜-33+12

所以｜L∩P｜=22。

浇花问题的解决

对上面的浇花问题，我们也可以选择画图用容斥原理解决。

为叙述方便，我们把各部分的计数数目用①至⑦分别表示。

由题意可知，

78=①+④+⑥+⑦

68=②+④+⑤+⑦

58=③+⑤+⑥+⑦

①+②+③+④+⑤+⑥+⑦=100

其中，容斥原理是:

①+②+③+④+⑤+⑥+⑦

=78+68+58-(④+⑦)-(⑥+⑦)-(⑤+⑦)+⑦

即100=204-(④+⑤+⑥+2×⑦)

所以，④+⑤+⑥+2×⑦=104

而④+⑤+⑥+⑦≤100，

所以⑦≥4。故⑦的最小值为4。

当⑦=4，④+⑤+⑥=96时，此时各部分数字如图所示:

符合要求。

如果要⑦最大，就让④+⑤+⑥=0，

此时⑦=52。

此时各部分数字如图:

也符合要求。

注意:表示集合的未必是圆，不必考虑图形的真实大小比例。